Base de Frenet
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Base de Frenet

Rémi MEVAERE - 16/02/2021

Présentation du repère

Le repère de Frenet, que l'on doit au mathématicien et astronome Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900 à Périgueux) permet d'étudier les mouvements (en cinématique) des corps au voisinage local des courbes. Je me propose dans cet article de clarifier ce concept sans utiliser la démonstration interlope qui consiste à se placer dans un plan et de dériver des sinus et des cosinus.

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Le long d'une trajectoire quelconque, on peut définir localement en M un cercle osculateur (de centre C) qui vient épouser la courbure du mouvement. On défini alors une base locale pour décrire le mouvement en s'appuyant sur le trièdre de Frenet qui est défini par trois vecteurs .

  • est un vecteur unitaire orienté de M vers C
  • est un vecteur unitaire tangent
  • complète le trièdre direct

Le référentiel d'étude est composé d'un repère d'espace et d'une horloge.

Dérivation de la formule de la vitesse

La vitesse est par définition relative à un référentiel :

Pour dériver convenablement la formule donnant la vitesse, il faut décrire convenablement la configuration géométrique du problème, sans en restreindre la généralité. Ce que je présente ci-dessous en effectuant un agrandissement.

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Pour notre démonstration on passe d'un élément différentiel, infiniment petit à un élément plus grand et plus accessible pédagogiquement qui est la variation du vecteur entre t et t + dt.

Dérivation de la formule de l'accélération

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Or géométriquement :

Sources :

[1] Wikipédia, Jean Frédéric Frenet, https://fr.wikipedia.org/wiki/Jean_Frédéric_Frenet

[2] Wikipédia, Repère de Frenet, https://fr.wikipedia.org/wiki/Repère_de_Frenet